Светът на Байта е помагало от ново поколение, чиято цел е да помогне на учениците и техните родители и учители да изградят математически усет към естествените числа.

Защо се налага това?

Ние хората се раждаме със способността да разбираме естествените числа – 1,2,3,4,5,… На планетата Земя има само една група хора (около 800 човека), които не използват идеята на естествените числа в своето ежедневие – племето пираха от амазонската джунгла. А тази идея води началото си далеч във времето. Първите сведения за използване на естествените числа датират от преди повече от 20000 години и са намерени в Селището на рибарите в Национален парк Вирунга – днешна Демократична Република Конго. Представлява кост на която с чертички са записани 3 „задачи“. Не сме сигурни какъв точно проблем са решавали тези задачи, но археолозите са категорични, че това е някакъв математически текст. Тази находка се нарича Костта от Ишанго и вероятно е първият известен ни сборник по математика.

Когато погледнем на естествените числа от математическа гледна точка изведнъж разбираме, че тази концепция крие много тайни. Човечеството е разбулвало тайна след тайна. А някои от тях все още си остават тайна. И за пръв път учениците се сблъскват с това в 5-и клас. Изведнъж числата спират да бъдат количество и се превръщат в нещо със собствена вътрешна структура. И тази структура е важна за разбирането на числата изобщо. Този процес превръща интуитивното свързване на естествените числа с количество в … съвременна аритметика. Целта на помагалото е да помогне в този преход.

Какво искаме да покажем?

В множеството на естествените числа има две операции, които са основни за това множество – събиране и умножение. Те са важни с това, че събирането и умножението на естествени числа също е естествено число. С други думи учениците трябва да усетят това затваряне на множеството на естествените числа от тези операции. Умножението по-конкретно ни дава структурата на естествените числа, такава каквато я познаваме днес. Но тази структура крие много тайни. Например как се появяват простите числа? Простите числа са онези числа, които не могат да се представят като произведение на други естествени числа, освен като произведение на себе си и единицата. Едно от най-важните ни знания за естествените числа в претворено в Основната теорема на аритметиката. Тя доказва, че всяко естествено число се разлага по единствен начин (с точност до подредба) на прости множители. С други думи – простите числа са рецептата за получаване на естествените числа. Но как да си направим прости числа? Това още не знаем. Нямаме модел за получаване на прости числа, който да е еднозначен и пълен. Т.е. всичко което получаваме чрез този модел да е просто число и всички прости числа да са получени по този модел. Дори и само едното би представлявало невероятно откритие. Но имаме модели по които получаваме различни множества от числа с различни свойства. Усета за създаване на модел от някакво известно подмножество е важно умение приложимо във всяка наука. И той идва от изучаването на вътрешната структура на числата. За тази цел в „Светът на Байта“ сме си поставили фокус върху следните умения:

• Основна теорема на аритметиката
• Най-малко общо кратно и най-голям общ делител
• Откриване на модел в последователност от числа

В допълнение искаме да помогнем в осъзнаването на идеята, че има повече от един начин да запишем едно число. Така всяко число участващо в играта е представено по три различни начина:

• стандартен десетичен запис
• с римски цифри
• в двоична бройна система

Избрахме тези две алтернативни представяния неслучайно. Десетичния запис на числото е всеобщо приетият днес запис в науката и в ежедневното общуване. Но все още за някои исторически места, събития и личности се среща запис с римски цифри. Дигитални свят обаче използва двоична бройна система и всеки който иска да го разбере трябва да е наясно как се записват числата в тази система.

И така – добре дошли в света на Байта. Светът на естествените числа.

Как го правим?

С помощта на 2 игри и 36 карти-задачи.

Първата игра се нарича „Бялата шапка“.

Играят 2-4 играча, наричани бели шапки. Бели шапки наричат на жаргон експертите по киберсигурност. Дълго време теорията на числата – една от най-красивите математически теории – е давана за пример на „непрактична“ математика. Един от големите учени работещи в тази област – Годфри Харди – казва „Математикът, подобно на художникът или поета, създава образи. Ако тези „образи“ са по-трайни от техните образи, то е защото са съставени от идеи.“ Но през 1983  година на това е сложен край. Трима учени Ronald L. Rivest, Adi Shamir и Leonard Adleman създават алгоритъм, който днес почти всеки използва. Алгоритъмът на RSA (кръстен на първите букви на авторите си) предоставя процедура за подписване на електронен документ и за проверка на автентичността на подписа. Той става неизменна част от киберсигурността. Този алгоритъм се базира именно на Основната теорема на аритметиката. В играта ние разиграваме вариант на този алгоритъм. И по-добрият печели. Играчите са призовани да отключат вратите със секретни номера и секретни ключове. И да спечелят ключа към тайните. Играта е фокусирана върху все по-доброто разбиране на Основната теорема на аритметиката и ни потапя в света на киберсигурността.

Правилата на играта можете да видите и във видеото тук:Играта “Бялата шапка и древният ключ” от “Светът на Байта – естествените числа”.

Втората игра се нарича „Хакерски двубой“.

Играят 2 играчи, наричани хакери. Най-малкото общо кратно и най-големият общ делител са двете страни на една и съща монета. И играчите усещат това, търсейки начин да предизвикат противника да избира секретни врати с номера намаляващи броят на общите множители в най-малкото общо кратно или най-големият общ делител в зависимост от това дали са на ход или не са. И по-добрият печели титлата бяла шапка и правото да играе в отбора на белите шапки.

36 карти-задачи

Игрите се играят с 2 вида карти – ключове и врати с ключалки. За игрите са от значение най-вече числата върху вратите и ключовете. Но на всяка карта е изобразена геометрична интерпретация на числова редица. Към всяка карта може да се зададе въпроса – кои са числата в тази числова редица, или кое е следващото число. Когато задаваме този въпрос имаме няколко различни подхода и за това върху картите са изобразени различни групи задачи.

Първата, която е вероятно най-интуитивна са така наречените рекурентни редици – всеки следващ член след първите няколко се получават като комбинация от предходните. Най-известната е разбира се редицата на Фибоначи, но сме включили и още няколко редици с приложение в теория на числата.

Втората са задачите-сито. При тях редиците се получават чрез отсяване по определен алгоритъм на числата. За разлика от рекурентните редици, при тези нямаме формула по която да генерираме следващите членове. Най-известното сито е ситото на Ератостен, с което отсяваме простите числа. Но сме включили и още няколко.

Третата група са фигуралните числа – триъгълни, петоъгълни и т.н. Тези редици имат формула за общия член по която можем да получим всеки член, стига да знаем номера му в редицата. Откриването на такива формули създава умение за аналитично представяне на математически модел. Такава карта можете да видите в изображението в началото на поста.

Четвъртата група са поредици числа свързани с комбинаториката. По колко различни начина можеш да направиш нещо. Най-известни на учениците са броенето на пътища от долен ляв до горен десен ъгъл по целочислена решетка. Но сме включили и още няколко такива модела като телефонните числа например.

Петата група задачи са свързани с няколко все още нерешени задачи свързани с целите числа. Например представянето на естествени числа като сума на квадрати или кубове на прости числа. Тук задачата по-скоро е да се даде някакво число и да се види дали към него може да се приложи модела. Като допълнителна загадка в картите ключове сме загатнали и идеята на числата на Мерсен.

За кого е това помагало?

Помагалото е за всички, които искат да надградят уменията си за боравене с числа и модели.

На първо място помагалото е добро пособие за усвояване и затвърждаване на разлагането на прости множители в условията на една игра в която не бързината на изчисление, а разбирането на структурата на числото е от съществена важност. Учениците често се питат за какво може да им послужи дадено математическо знание и това помагало е перфектния отговор на въпроса „Защо изучавам разлагането на прости множители?“.

На второ място помагалото е за семейства в които възрастните осъзнават важността на математиката и се стараят да помогнат на децата си да я осъзнаят и те. Игрите дават възможност в една неформална обстановка да се дискутират интересни математически теми. Тези семейни дискусии са основата за създаване и затвърждаване на интерес към математиката. А за дискусиите трябва повод и подходяща обстановка. А какъв по-хубав повод от една семейна игра.

На трето място помагалото е за учителите, които искат да използват иновативни методи за преподаване. Това помагало дава възможност учителите да организират в час образователни игри, като получават обратна връзка кой как се справя. Дава възможност и да развиват общата интелигентност на учениците чрез използването на задачите за математически модели. И не на последно място дава възможност да онагледяват и обогатяват части от учебното съдържание чрез използването на великолепните изображения от картите.

И на четвърто място, помагалото е за настоящи и бъдещи програмисти. Колко от моделите можете да реализирате като приложение? Програмирането на математически модел е едно от уменията, които всеки програмист трябва да притежава. Картите ключалки са като набор от основни математически модели тестващи уменията на един настоящ или бъдещ програмист.

Можете да поръчате тук: Поръчай!

Сгъни наука

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios