Оригиналният пост е писан за Medium

Броенето вероятно е първата използвана математическа операция. Счита се, че първият известен ни математически текст – костта от Ишанго – е свързан именно с броенето. Тази кост е намерена в „Селището на рибарите“ в национален парк Вирунга, днешна Демократична република Конго през 1950 година от белгийски учени и днес се съхранява в Музея на естествените науки в Брюксел.
Много са доказателствата, че някои животни могат да броят. Основното преимущество, което броенето дава е възможността да определиш кое множество е по-голямо. Например дали твоята група е по-голяма от конкурентната група. Това е животоспасяващо умение в природата, така че не е чудно, че и други животни (освен хората) са придобили това умение. А още по-интересена ми се струва хипотезата, че и някои растения също могат да броят. Например учените считат, че Венерината мухоловка може да брои поне до 5. Начинът по който учените са установили това е много интересна история.
Знаем, че бебетата се раждат с възможността да броят до 2 (1-2-много). По-късно ги учим да броят поне до 10 използвайки пръстите на ръцете. И за да приключим с историческия обзор, да споменем и че все пак на Земята живеят около 800 човека, които не използват броенето. Племето Пираха обитава джунглите на Амазония и е единствената известна ни общност, която няма думи за числата и не използва броенето. Интересен факт е, че когато мисионерът Daniel Everett започва да учи децата на идеята за числата и броенето, те много бързо схващат идеята, но възрастните също много бързо ги спират от „училище“. Явно са счели това знание за опасно.
В исторически план математическото развитие започва от броенето и еволюира към изчисляването с помощта на математическите операции. В съвременната математика броенето придобива една изключителна роля. Идеята за броене е еволюирала до задачи, чиято цел е да се преброят елементите на някакви множества с помощта на математическите операции. Така възниква изброителната комбинаторика. Основен проблем на изброителната комбинаторика е по зададено множество и правила за комбиниране, да се намери броя на получаващите се комбинаторни конфигурации.
Една задача, която според мен е много интересна както от научна, така и от практическа полза е известна под името числа на Бел. Нека разгледаме някакво множество S с n елемента. Бихме могли да отделим k от тези елементи в отделно множество P. Тъй като това множество P съдържа само елементи, които се съдържат в S, казваме, че P е подмножество на S. Бихме могли и да разгледаме множеството от онези елементи на S, които не са елементи на P. Те образуват друго подмножество на S, което означаваме с S-P или с S/P и означава онези елементи на S, които не са елементи на P. При това положение, казваме че S е разделено на две непресичащи се подмножества P и S-P.
В задачата, която ще разгледаме, се пита по колко различни начина едно множество с n елемента може да се раздели на непресичащи се подмножества. Много голям принос за разрешаване на различни задачи от тази тема има Ерик Темпъл Бел – роден в Шотландия математик, педагог и писател на научна фантастика, който е направил значителен принос в аналитичната теория на числата.
Ще започнем с няколко примера, които ни дават числата на Бел за различни множества.
Пример 1: Ако имаме множество без елементи (празното множество), то очевидно това множество може да се раздели на подмножества по единствен начин – като вземем самото празно множество. Т.е. числото на Бел за n=0 е 1
Пример 2: Ако имаме множество от 1 елемент, то това множество може да се раздели на подмножества по един единствен начин – вземаме самият елемент. Т.е. числото на Бел за n=1 е 1
Пример 3: Нека е дадено множество от 2 елемента. От това множество може да формираме различни подмножества по 2 начина: новият елемент да е в множество със стария елемент или новият елемент и стария елемент да формират отделни подмножества, всяко с по 1 елемент (фиг 1). Начините да разделим едно множество с два елемента на различни подмножества са два. Т.е. числото на Бел за n=2 е 2.

Пример 4: Нека е дадено множество от 3 елемента. На фигура 2 са дадени всички възможности то да бъде разделено на непресичащи се подмножества. Броят на тези начини е 5. Т.е. числото на Бел за n=3 е 5.

Това, което е важно да забележим на този етап е, че можем да структурираме нашето наблюдение, като разгледаме третият елемент отделно и си зададем въпроса как той се включва в съществуващото разбиване на множеството от останалите елементи. Нека вземем някакво разбиване на първоначалното множество на две подмножества, едно от които съдържа третия елемнт, а другото не го съдържа и нека се фокусираме върху това подмножество, което го съдържа. Освен новият трети елемнт, това множество може да съдържа 0, 1 или 2 елемента.
Ако то съдържа 0 елемнта, то тогава това подмножество може да се разбие допълнително на подмножества по един единствен начин съгласно пример 1.
Ако то съдържа само един друг елемнт, то този един елемнт може да бъде избран измежду 2 други по 2 начина, а самото подмножество от този един елемнт да се разбие допълнително на други подмножества по 1 начин съгласно пример 2.
Ако то съдържа 2 елемента, то това може да стане по единствен начин, а самото подмножество да се разбие на други подмножества по 2 начина съгласно пример 3.
Или може да обобщим това така: ако едно множество има n+1 елемнта, то числото на Бел за n+1 зависи от начините по които можем да изберем 0, 1, 2, … n елемнта измежду n и начините по които тези избрани елемнти могат да се разбият на подмножества, което се дава от числата на Бел със съответния индекст – B0, B1, B2, …., Bn
Ето и първите 10 числа на Бел:
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147
А ако се чудите за какво ни е всичко това, нека от прекрасния свят на математиката да се пренесем в света на политиката. Например нека разгледаме един клуб от страни, наречен Г7. Това е клуб в който участват седемте най-развити в икономическо отношение държави: Великобритания, Германия, Италия, Канада, САЩ, Франция, Япония. На годишните им срещи се вземат решения, които влияят много силно върху световната икономика. Въпросът е, че по всеки казус всяка страна има свои съюзници и свои опоненти. Колко са възможните коалиции в тази група държави?
Отговорът на този въпрос се дава очевидно от седмото число на Бел, което е 877. Т.е. за да се поддържа този съюз от държави, трябва да се вземат такива решения, че те да удовлетворяват всичките 877 различни случая на коалиции. И това само в група от 7 държави.
Помислете сега как функционира политически съюз от 27 държави (какъвто е Европейският съюз в който членува моята държава – България) и колко още по-трудно е функционирането на ООН – организация в която членуват 193 държави и която е призвана да пази мира в света. Все пак да кажем, че в случая с ООН, най-важните решения се постигат, когато се договорят постоянните страни-членки на Съвета за сигурност. А те са 5: Русия, САЩ, Франция, Обединеното Кралство и Китай. Възможните коалиции в множество с 5 елемента се дават от петото число на Бел, което е „само“ 52.

Тайната зад врата с номер 45

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios