Математиката е много красива наука, като в същото време се стреми към максимално опростяване. Виждаме това в много задачи. За една такава задача ще стане дума в тази статия. Задачата отвъд различните интерпретации е следната: Дадена е права и две различни точки от една и съща полуравнина. Да се намери онази точка от правата, която е на минимално общо разстояние до двете точки.

Ако искате да опитате сами да решите тази задача, спрете да четете сега и се върнете след това за да сверим вашето и моето решение

Едно наистина красиво решение на тази задача се базира на основното свойство на осевата симетрия. А именно, че точка и нейният образ са на равни разстояния от оста на симетрията. Или което е същото, че която и точка от оста на симетрия да изберем, то разстоянието между нея и всяка друга точка от равнината е равно на разстоянието до образа на другата точка.

Най-късото разстояние между две точки е разбира се отсечката, която ги свързва. Тъй като двете точки A и B в нашата задача са от една и съща полуравнина, относно правата, то отсечката, която ги свързва не пресича правата. Но ако построим образа на една от точките (например А) при осева симетрия относно правата, то най-малкото разстояние между B и образа на A пак ще е отсечката, която ги свързва, но този път тя ще пресича правата. Точката в която тази отсечка пресича правата е търсената от нас точка. Нека я наречем M

Доказателството е доста просто: която и друга точка S от правата да разгледаме, поради неравенството в триъгълника A‘SB A‘S+BS>A‘B

Единственото, което остана да забележим е, че АМ=А‘М, поради свойството на осевата симетрия.

Осевата симетрия е едно от трите основни изображения на равнината в себе си, които изобразяват всяка фигура в еднаква на нея фигура. Обикновено го демонстрираме чрез сгъването на хартия. Другите две са ротацията и транслацията. Всяко от тези изображения е еднаквост (т.е. първообраза и образа са еднакви). Вярно е и обратното твърдение: ако две фигури са еднакви, то съществува комбинация от осева симетрия, ротация и транслация, при която едното изображение се изобразява в другото.

Една чудесна задача, която демонстрира това е задачата за отрязване на произволен многоъгълник от хартия, като се използва само един разрез. Теоремата за сгъване и изрязване (The fold-and-cut theorem) гласи, че всяка форма с прави страни може да бъде изрязана от един (идеализиран) лист хартия, като се сгъне плоско и се направи единичен прав пълен разрез.

Едно чудесно занимание за хора интересуващи се от изучаването на осевата симетрия е изрязването на всички букви от азбуката с един разрез. Ето например как да си изрежете H.

Друго интересно занимание за хората изучаващи осевата симетрия са задачите за пробиване на конфигурация от дупки само с едно дупчене.

Ето как да пробиете 4 дупки, върхове на равнобедрен трапец с едно дупчене.

Други интересни задачи свързани с осевата симетрия можете да откриете тук: Reflections and Symmetry Worksheets & Activities | Geometry Transformations

Приятно оглеждане в огледалото!

Светът на Байта – Естествените числа

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios