2025 и фигуралните числа

Оригиналният пост е за Medium

Скоро планетата ни ще започне поредната си обиколка около най-близката звезда. Тя разбира се не е 2025-тата, а около 4.5 милиардната. Но навика ни да броим годините не е свързан с физиката, а по-скоро с исторически насложили се събития. Така че нека приемем, че обозначаваме тази поредна обиколка на Земята около Слънцето с името 2025. Това разбира се поражда въпроса как записваме това име. Като начало, 2025 е в десетична бройна система. Ако използваме римски запис ще е MMXXV. Бихме могли да използваме и друга позиционна бройна система различна от десетичната, например двоична бройна система. Тогава името ще е 11111101001, което представя 2025 като сума от степени на 2. Изобщо може да се каже, че чрез преминаване на 2025 от един запис в друг запис всъщност превеждаме името на годината от обичайния ни математически език в друг математически език. Хубаво е да знаеш името на нещо на много езици.

Много хора правят равносметка в края на всяка година. Аз имам навика да издирвам интересни задачи свързани с числото представящо наближаващата нова година. Така съм открила различни интересни задачи, чиито решения са свързани с числото представящо новата година. Тазгодишната задача е свързана с квадратните числа. Да започнем от там, че от теорията на числата знаем, че всяко число се представя като произведение на прости числа по единствен начин (с точност до подредба). За 2025 това е:

2025=3*3*3*3*5*5

Което от своя страна показва, че 2025 е точен квадрат, тъй като всеки прост множител се среща четен брой пъти в това представяне.

2025=452

Или с други думи това означава, че ако имаме 2025 обекта, то ние можем да ги подредим в квадрат 45 реда и 45 колони. Нека за конкретика тези обекти да са точки.

Числата, които представят количество обекти, които могат да бъдат подредени в някакви многоъгълници се наричат фигурни числа. 2025 е квадратно число, защото 2025 обекта могат да се подредят в квадрат с 45 реда и 45 колони.

Фигурните числа се обединяват в две големи групи: фигурни числа, които се получават от „раздуването“ на една фигура запазвайки единия връх и фигурни числа, които се получават от „раздуването“ на една фигура, запазвайки центъра. Така имаме квадратни числа и централни квадратни числа. Ето например числото 25 е квадратно число и също така е квадратно централно число, както се вижда от изображението по-долу.

Нека да обърна внимание, че 25 е 5-тото квадратно число, защото се получава след 5 „раздувания“ от върха, но е третото централно квадратно число, защото се получава след 3 „раздувания“ от центъра.

Сега възниква въпросът дали 2025 освен квадратно число е също така и централно квадратно число?

Спрете да четете тук, ако искате да опитате да отговорите на този въпрос сами и се върнете да сверим отговорите си.

Да се опитаме да представим членовете на редицата на квадратните числа аналитично.

Очевидно първото квадратано число е 1. Второто е 22=4. Третото е 32=9. Следват 16, 25, 36, 49 и т.н Изобщо n-тото квадратно число е n2.

Отбелязвам, че само нечетните квадратни числа имат централна точка, около която могат да се образуват централни квадратни числа. С други думи, всички четни квадратни числа изпадат от редицата на централните квадратни числа. 2025 обаче е нечетно квадратно число и следователно ще остане в редицата на централните квадратни числа.

Отговорът на въпроса дали 2025 е централно квадратно число е – да.

Следващия въпрос е кое поред централно квадратно число е 2025?

Тъй като 2025 е 45-тото квадратно число, а от 1 до 45 има 22 четни числа, на които съответстват квадратни числа, които не са централни квадратни числа, то значи 2025 е 23-тото централно квадратно число. Изобщо едно число N е к-тото централно квадратно число, ако N=(2k-1)2

На вас оставям да проверите, дали 2025 е централно осмоъгълно число. Изображението, което ви оставям ще ви подскаже отговора.

А ако искате всичко това и още няколко интересни задачи оформени като учебен проект ще ги намерите в нашия електронен магазин тук: Математиката на 2025

Триъгълните и квадратните числа са изучавани още от древните гърци. Защото няма по-голямо математическо удоволствие от това да откриеш модел, който някакъв процес следва. Математиката е красива, защото произвежда модели. А нашият мозък е така устроен, че ги търси навсякъде. И ги намира най-често в … математиката.

Последвайте ни

FACEBOOK

Електронна Поща

  marielastan4eva@gmail.com

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios