Добре дошли в Светът на Байта. В този пост ще видим каква тайна е скрита зад врати с номера 26 и 76

Врата номер 76 се отключва с 2, 2 и 19, защото 76=2*2*19 и нейното отключване в играта „Бялата шапка и древният ключ“ носи 5 точки.

Врата номер 26 се отключва с 2 и 13, защото 26=2*13 и нейното отключване в играта „Бялата шапка и древният ключ“ носи 4 точки.

Тайната зад тези врати е свързана с телефонните числа и математическото понятие инволюция.

Изучаването на телефонните числа започва в 1800 година от германският математик Хенрих Роте, но интерпретацията, която им носи името телефонни числа е дадена по-късно от американският математик Джон Риърдън.

Представете си, че n души са абонирани за телефонна услуга, която може да свърже всеки двама от тях чрез повикване, но не може да осъществи повикване, свързващо повече от двама души. По колко различни начини може да стане това?

Например, ако имаме само двама души то те или могат да се свържат по между си, или не. Което означава, че телефонното числао за n=2 е 2. Т(2)=2. Ако имаме само един човек то очевидно няма никакъв начин той да се свърже с някой друг, освен да си остане несвързан с никого – т.е. Т(1)=1

Задача 1: Намерете T(3). (решението на тази задача можете да видите във видеото тук)

За n=4 виждаме различните начини на свързване на изображението на картите с номера 26 и 76.

Имаме общо 10 различни начина на свързване, което означава че T(4)=10

Рекурентна формула

Да разгледаме случая с n абоната. Общият брой конфигурации ще е T(n). И нека да добавим нов абонат. Абонантите ще станат n+1. Очевидно този абонат може да не се свърже с никого и това ще ни даде T(n) конфигурации – това са си конфигурациите на началните n абоната. Има и друга възможност. Например да реши да се свържи с абонат с номер 1. Тогава останалите абонати, които са n-1 на брой могат да се свържат по между си по T(n-1) начина. Това може да се повтори с всичките първоначални n абоната. Това ни добавя нови nT(n-1) възможности. Така формулата за n+1 абоната става:

T(n+1)=T(n)+nT(n-1).

Наистина при n=4 получаваме Т(4)=Т(3)+3Т(2)=(Т(2)+2Т(1))+3Т(2)=2+2*1+3*2=10

T(5)=26, T(6)=76 и това е причината вратите с тези номера да са посветени на телефонните числа.

Един начин да получим първите 13 телефонни числа с електронна таблица можете да видите в работния лист в края на поста.

Инволюция и телефонни числа

Телефонните числа са свързани с едно много важно за науката понятие – инволюция. Ако имаме някакво множество от елементи можем да дефинираме някакво съответствие между тях. Например нека на всяко цяло число е съпоставено неговото реципрочно. На 1 се съпоставя -1, на 2 се съпоставя -2, на -100 се съпоставя 100 и така нататък. Забележителното при такова съпоставяне е, че ако на 1 се съпоставя -1, то на -1 се съпоставя 1 или 1à-1à1. С други думи ако вземем един елемент и му приложим такова съпоставяне два пъти, то ще получим първоначалния елемент. Такива съпоставяния се наричат инволюция. Едно изображение F на множество в себе си се нарича инволюция ако F(F(x))=x. Има много изображения, които са инволюции. Например описаното в началото, при което на всяко число се съпоставя неговото противоположно е инволюция защото –(-(x))=x.

Задача 2: Инволюция ли е съпоставянето на едно положително число с неговото реципрочно?

Ако имаме едно крайно множество от n числа, то броят различни изображения на това множество в себе си, които са инволюции е всъщност T(n). За това телефонните числа често се наричат инволюционни числа.

Други примери за инволюция в математиката:

Осевата симетрия е изображение на точките в равнината, което е инволюция, защото ако построим симетричната на една точка и после нейната симетрична точка ще се върнем в първоначалната точка.

Централната симетрия е също инволюция.

Инволюцията в други науки:

Математиката не е единствената наука, която използва понятието инволюция. В медицината инволюция на един орган се нарича връщане на този орган към предишните му размери.

За голямата роля на инволюцията в криптографията ще говорим в отделен пост. Сега само ще обясним основната идея. Някои криптографски системи използват идеята за заместване на всяка буква с друга буква по определена схема. Такива криптографски системи се наричат системи със заместване. Най-простия вид такива системи са системи при които всяка буква се замества със буква намираща се на определен брой букви от нея. Такива системи се наричат системи с отместване. Един прост пример е когато една буква се замества със следващата. Тогава казваме, че отместването е 1. Така A ще стане Б, Б ще стане В и така нататък. Думата МАТЕМАТИКА ще стане НБУЖНБУЙЛБ.

Когато става дума за английската азбука, която се състои от 26 букви има интересна инволюция, при която всяка буква се замества с 13 буква след нея. Така A става N, но N става A.

Този шифър си има собствено име: ROT13 (ротация на 13 символа). В ранните дни на интернет този шифър се е използвал за защита на някои пароли. Ползата от това, че е инволюция е, че няма нужда да се пишат два различни алгоритъма за криптиране и декриптиране. С алгоритъма с който се криптира с него се декриптира, точно защото това е инволюция – двойното прилагане на съответствието възстановява първоначалното състояние. Ако искате да си поиграете с истинска машина за кодове с отместване разгледайте нашия КРИПТОМАТ. Можете да го използвате за решаване на следващите задачи:

Задача 3: Ако говорим за българската азбука, при какво отместване този шифър би бил инволюция?

Задача 4: В компютърните науки има операция XOR (изключващо или). При фиксиран един от аргументите, докажете, че XOR е инволюция.

Разгледайте възможностите на XOR за използване в криптографията. Научете повече за алгоритъма за криптиране RS4

А за любопитните да научат повече препоръчвам материала за ROT13 в курса Криптография за ученици – кодове с отместване тук: https://classroom.google.com/c/MzYxOTE1MjAwMTJa

Препоръчвам разбира се и целият курс😊

Кратко видео за тайната скрита зад врати 26 и 76 можете да видите на нашия видеоканал тук.

Електронна таблица с формули за изтегляне тук.

“Светът на Байта – естествените числа” можете да поръчате тук.

Вижте и следващата загадка скрита зад вратите от Светът на Байта и успех в играта!

Числови редици свързани с множества

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios