Добре дошли в Светът на Байта. В този пост ще видим каква тайна е скрита зад врата с номер 45

Тя се отключва с 3, 3 и 5 и нейното отключване в играта „Бялата шапка и древният ключ“ носи 5 точки.

Тайната зад тази врата е свързана с триъгълните числа и геометричните аргументи за доказване на аритметични твърдения.

Изображението на тази карта е четвъртото триъгълно число, но има собствено име – Tetractys и е било много важно за философската школа на Питагор.

Триъгълните числа са свързани с броя точки, които могат да бъдат организирани в равностранен триъгълник. Т₁=1; Т₂=3; Т₃=6; и така нататък.

Ясно е, че второто триъгълно число е равно на първото +2, третото триъгълно число е равно на второто +3, а четвъртото е третото +4. Изобщо едно триъгълно число е равно на предходното триъгълно число + собствения си номер. T_n=T_n-1 + n

Понякога се използва още едно представяне на триъгълните числа във вид на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Очевидно n-тото триъгълно число е равно на сумата на първите n естествени числа. T_n=1+2+3+…+n

Ето първите няколко триъгълни числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, … Както се вижда T₉=45 и това е причината картата-врата с номер 45 да е посветена на триъгълните числа.

Извеждането на формулата за общия член на редицата на триъгълните числа е пример за използването на геометрични съображения за доказване на аритметични закономерности.

Задача 1: Докажете, че T_n=n.(n+1)/2

Решение: Имаме триъгълно число с някакъв номер, което ако наложим два пъти образува правоъгълник. Броят точки в този правоъгълник обаче можем да изчислим и с формулата за лице.

S=n.(n+1)

T_n+T_n=S

2T_n=n.(n+1)

T_n=n.(n+1)/2 – формула за общия член на редицата на триъгълните числа.

Всяко триъгълно число е равно на половината от произведението на номера си и следващото след него естествено число.

Тъй като всяко триъгълно число е сума на първите няколко естествени числа, да припомним и решението на Гаус на тази задача.

Ʃ=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n

Ʃ=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1

Събираме почленно

2Ʃ=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+…+(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)=n(n+1)

Ʃ=n.(n+1)/2

Ето още едно свойство на триъгълните числа, за чието извеждане използваме геометрични съображения.

Задача 2: Докажете, че сумата на две последователни триъгълни числа е равна на квадрата на номера на по-голямото T_n+T_n+1=(n+1)².

Решение: Използваме равенството от началото на поста: T_n+1=T_n + n и равенството от задача 1: T_n=n.(n+1)/2

T_n+T_n+1=T_n+(T_n+(n+1)) =

= 2.T_n+(n+1) = 2.(n.(n+1)/2+(n+1) =

= n(n+1)+(n+1)=(n+1).(n+1) = (n+1)²

А сега една задача за размисъл.

Задача 3: Дървени трупи се подреждат по начина показан на изображението.

Колко е минималното количество трупи използвани за основа, така че да се натрупа купчина от 500 дървени трупи.

Как би изглеждала купчината от 100 трупи?

В „Светът на Байта – естествените числа“ са включени няколко триъгълни числа, като 3 от тях 45,78,91 са с изображението Tetractys.

Това беше тайната скрита зад врата 45.

Кратко видео за тайната скрита зад вратa 45 можете да видите на нашия видеоканал тук.

“Светът на Байта – естествените числа” можете да поръчате тук.

Вижте и останалите загадки скрити зад вратите от Светът на Байта и успех в играта!

Тайната зад врата с номер 34

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios