Добре дошли в Светът на Байта.В този пост ще видим каква тайна е скрита зад врата номер 34. Тя се отключва с 2 и 17 и нейното отключване в играта „Бялата шапка и древният ключ“ носи 4 точки.

Тайната зад тази врата е свързана с числата на Фибоначи. Те са кръстени на италианския математик Леонардо Фибоначи от Пиза, който през 1202 година в своята книга Liber Abaci първи описва последователността в западноевропейската математика.

Числата на Фибоначи, образуват редица, в която всяко число е сбор от двете предходни. Последователността обикновено започва от F₁=1 и F₂= 1. Третото число в редицата ще бъде 1+1=2. Четвъртото ще бъде 1+2=3. Ето първите няколко члена на редицата на Фибоначи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Деветият член на редицата на Фибоначи F₉ е 34. За това карта с номер 34 е посветена на редицата на Фибоначи.

Числата на Фибоначи имат изумителни свойства, едно от които е, че сумата от квадратите на първите няколко от тях е равна на произведението на последното от тях и следващото след него. На изображението виждате геометричната интерпретация на това твърдение – сумата от лицата на квадратите е равна на лицето на съставения от тях правоъгълник.

F₁² +F₂² + … F_n² = F_n F_n+1

Доказателството на това твърдение е чудесно упражнение за прилагане на метода на математическата индукция. В светът на Байта – естествените числа този метод се среща постоянно. Този мощен инструмент на математиката има приложения много отвъд самата математика и за това неговото изучаване е от голямо значение.

Методът на математическата индукция често се оприличава на ефекта на доминото. Всички сме играли онази игра в която подреждаш плочки за домино една след друга и после буташ първата от тях. Тя пута втората, втората бута третата и така нататък. Точно в тази идея се състои и методът на математическата индукция. Той има 3 основни стъпки:

Стъпка 1: Имаме стойност за която проверяваме дали твърдението, което ще доказваме е вярно. Обикновено това е твърдението за 1.

Стъпка 2: Правим допускане, че това твърдение е вярно за всички стойности до някаква стойност k.

Стъпка 3: На последния етап търсим начин да докажем, че от това че твърдението е вярно за всички стойности до k следва, че твърдението е вярно и за k+1. Ако и това е вярно, то твърдението е вярно за всяко естествено число n.

Първата стъпка е еквивалент на бутането на първата плочка от доминото, втората е еквивалент на това, че първите няколко ще паднат, а третата е еквивалент на доказателството, че ако бутнем която и да е плочка и тя падне, то тя ще събори и следващата.

А сега да се върнем на задачата.

Стъпка 1: Проверяваме дали сумата на първия и втория член удовлетворява твърдението:

1²+1²=1.2 – удовлетворява го.

Стъпка 2: Допускаме че за първите k члена твърдението е вярно. Т.е. допускаме, че

F₁² +F₂² + … F_k² = F_k F_k+1

Стъпка 3: Да докажем, че от твърдението в стъпка 2 следва, че

F₁² +F₂² + … F_k² + F_k+1²= F_k+1 F_k+2

Знаем, че  F₁² +F₂² + … F_k² = F_k F_k+1. Да добавим към двете страни на това равенство квадрата на следващия член на редицата на Фибоначи F_k+1². От ляво получаваме F₁² +F₂² + … F_k² + F_k+1², а от дясно F_k F_k+1 + F_k+1². В този израз можем да извадим k+1-я член пред скоби и в скобите ще остане сбора на k-тия член и k+1-вия член.

F_k+1 (F_k+F_k+1)

Но в скобите имаме сума на два последователни члена на редицата на Фибоначи. Значи всъщност това е следващия член на тази редица: F_k+F_k+1= F_k+2. Или от ляво имаме F₁² +F₂² + … F_k² + F_k+1², а от дясно имаме F_k+1 F_k+2

F₁² +F₂² + … F_k² + F_k+1²= F_k+1 F_k+2

С това доказателството приключи.

А сега да разгледаме една задача в която числата на Фибоначи са ключа за решението.

Имате вагони с дължина 1 и 2. По колко различни начини можете да конструирате влак с дължина n?

Очевидно влак с дължина 1 можем да конструираме по един единствен начин т.е. а₁=1

Влак с дължина 2 можем да конструираме по два начина : два вагона с дължина 1 или един вагон с дължина 2 т.е. а₂=2

За влак с дължина 3 да разгледаме какъв е първия вагон. Той може да е или с дължина 1 и тогава оставащият влак ще има дължина 2 (за този случай знаем по колко начин можем да го конструираме) или да е с дължина 1 и тогава остващият влак ще трябва да е с дължина 2 (за този случай също вече сме изчислили броя на всички възможности).

С други думи имаме а₃=a₂+a₁

Ако се замислим за a₄ ще имаме a₄=a₃+a₂ и така нататък. За a_n=a_n-1+a_n-2

Интуитивно и лесно. И те тренира да „смалиш“ проблема до базовите случаи, а след това да скалираш, като проста последователност от предходен опит.

И за финал след една класическа математическа задача и една техническа задача следва една класическа математическа задача „проверена“ с изчислителните възможности на компютрите.

За експеримента ще ни е необходима електронна таблица. Това което ни интересува е какво се случва с частното на два съседни члена на редицата на Фибоначи. F_n+1/F_n. Причината да си задаваме този въпрос е, че ако разгледаме как се променят правоъгълниците от нашето изображение ще видим, че те добиват някаква специфична красота. Страните им стават някак красиво пропорционални. Това всъщност не е за учудване, защото отношението на два съседни члена на редицата на Фибоначи много бързо започва да се приближава към „златното сечение“. В този пост обаче само ще направим експерименталната постановка, а за металните числа ще говорим в друг пост. И така трябва ни електронна таблица, която вместо нас да сметне числата на Фибоначи и отношението на две съседни. Можете да я изтеглите от линка под поста. Ето и резултата:

Както се вижда, отношението на два съседни члена на редицата на Фибоначи доста бързо започва да клони към една определена стойност. Това е само наблюдение. За да докажем това твърдение ни е необходимо математическо доказателство, но изчислителната мощ на компютрите може да ни помогне да се досетим какво да търсим.

Допълнение: Една песничка посветена на числата на Фибоначи, която може да създаде настроение за часа, посветен на числата на Фибоначи. Песничката е генерирана с помощта на изкуствен интелект.

https://app.suno.ai/song/9af73fe3-9d88-461b-a2fe-00965ba782a3

Вижте и следващата загадка скрита зад вратите от Светът на Байта и успех в играта!

Електронна таблица с формули за изтегляне: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1COMINueLL2-E0LS50FY4qKX3pCEXcNqg/edit?usp=sharing&ouid=102334793423081033666&rtpof=true&sd=true

Светът на Байта – естествените числа

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios