Добре дошли в Светът на Байта. В този пост ще видим каква тайна е скрита зад врата с номер 84

Тя се отключва с 2,2,3 и 7 и нейното отключване в играта „Бялата шапка и древният ключ“ носи 6 точки. Тайната скрита зад тази врата е свързана с тетраедричните числа.

Тетраедричните числа са фигурални числа равни на броя сфери, необходими за подреждането им във формата на правилен тетраедър. В този пост ще отбелязваме k-тото тетраедрично число с Te _k.

Те₁ = 1; Те₂ = 4; Те₃ = 10; Те₄ = 20; Те₅ = 35; Те₆ = 56; Те₇ = 84

Изображението на врата номер 84 е посветена на тетраедричните числа в чест на седмото тетраедрично число – 84.

2024 е двадесет и второто тетраедрично число.

Тетраедричните числа са пряко свързани с триъгълните числа. За да разберете добре този пост ще е полезно първо да прочетете поста посветен на триъгълните числа – „Тайната зад врата с номер 45“.

Задача 1: Докажете, че всяко тетраедрично число е сума на триъгълните числа с индекс до неговия: Te _k= T₁+ T₂+…+ T_k

Задача 2: Всяко тетраедрично число е сума на предходното тетраедрично число и триъгълното число със съответния индекс. Ако отбележим k-тото триъгълно число с T_k, то можем да кажем, че: Te _k= Te _k-1+ T_k

Решение: Te _k= {T₁+ T₂+…+ T_k-1} + T_k = Te _k-1+ T_k

Формулата за общия член на редицата на тетраедричните числа е

Te _n=n(n+1)(n+2)/6

Доказателство: Ще използваме връзката от задача 2 за да докажем с метода на математическата индукция формулата за общия член на редицата на тетраедричните числа.

Повече за математическата индукция можете да прочетете в „Тайната зад врата с номер 34“.

Стъпка 1: Проверяваме, дали формулата е вярна за първите няколко члена.

Те₁ = 1=1.2.3/6

Те₂ = 4=2.3.4/6

Те₃ = 10=3.4.5/6

Стъпка 2: Допускаме, че формулата е вярна за всички тетраедрични числа до k-тото. Т.е. за всяко тетраедрично число k<=n е вярно, че Te _k=k(k+1)(k+2)/6

Стъпка 3: Нека видим дали формулата е вярна за n+1-вото тетраедрично число.

Тъй като n+1-вото тетраедрично число е сума на n-тото тетраедрично число и n+1-вото триъгълно число (според задача 2), то значи

Te _n+1= Te _n+ T_k+1

Заместваме

Te _n=n(n+1)(n+2)/6

T_n+1=(n+1).(n+2)/2=3(n+1).(n+2)/6

Te _n+1= n(n+1)(n+2)/6+3(n+1).(n+2)/6=(n+1)(n+2)(n+3)/6

С което доказахме, че от верността на формулата за първите n члена следва верността на формулата за n+1-вия член. От където, съгласно принципа на математическата индукция, следва че формулата е вярна за всички членове на редицата на тетраедричните числа.

Задача 3: Докажете формулата за сумата на първите n тетраедрични числа:

Te ₁+ Te ₂+…+ Te _n=n (n+1) (n+2) (n+3)/24

Доказателство: Доказателството на това свойство ще направим отново с метода на математическата индукция.

Стъпка 1: Проверяваме формулата за n=1

Стъпка 2: Допускаме, че формулата е вярна за първите n члена на редицата на тетраедричните числа.

Стъпка 3: Извеждаме формулата за сумата на първите n+1 члена на редицата на тетраедричните числа:

Te ₁+ Te ₂+…+ Te _n + Te _n+1 = {Te ₁+ Te ₂+…+ Te _n} + Te _n+1 =

n (n+1) (n+2) (n+3)/24+(n+1) (n+2) (n+3)/6

Привеждаме под общ знаменател и изваждаме общите множители пред скоби.

Te ₁+ Te ₂+…+ Te _n + Te _n+1 = (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)/24

С което доказателството е приключено.

За финал ще опиша един проект свързващ както свойствата на тетраедричните числа, така и метода на рекурсията в една коледна песен. Проектът свързва математиката, програмирането, английският език и литературата.

„The Twelve Days of Christmas“ или „Дванадесетте дни на Коледа“ е английска коледна песен. Можете да я чуете от линка в края на поста. Текстът описва подробно серия от все по-многобройни подаръци, дадени на изпълняващия песента от неговата „истинска любов“ на всеки от дванадесетте дни на Коледа (дванадесетте дни, които съставляват коледния сезон в Англия, започвайки с Коледа). Ето първите няколко куплета от песента (и превод на български):

Тя е класически пример за кумулативна песен – всеки стих е изграден върху предишните стихове. В първия ден имаме 1 подарък (яребица в круша). На втория ден имаме добавени 2 гургулици и още веднъж яребица в круша или общо 3 подаръка за втория ден. На третия ден имаме добавени 3 френски кокошки и отново двете гъргулици и яребицата или общо 6 подаръка.

Задача 4: Колко са общо коледните подаръци получени в песента?

Решение: За всеки ден броят подаръци е съответното триъгълно число.

Сумата на всички триъгълни числа  от 1 до 12 е дванадесетото тетраедрично число, което е (съгласно формулата) 12*13*14/6 = 364.

А самите подаръци, можете да видите в описанието на песента в Wikipedia.

За доказване на формулите включени в този пост използвахме метода на математическата индукция. Той е пряко свързан с рекурсията в програмирането – метод при който една функция извиква при изпълнението си самата себе си.

Доналд Кнут, легендарният автор на „Изкуството на програмирането“ (повече за него може да прочетете в поста “Бонбони за цялото училище или как програмирането стана изкуство”), къде на шега, къде сериозно пише една статия за сложността на песните (можете да прочетете повече за нея от линка в края на поста). Статията е свързана с тенденцията на популярните съвременни песни да преминават от съдържателни балади към силно повтарящи се текстове с малко или никакво смислено съдържание. Така възникват няколко различни задачи в програмирането свързани с различни песни.

Задача 5: Да се напише програма на избран от вас език за програмиране, която разпечатва текста на песента „Дванадесетте дни на Коледа“, като дължината на програмния код трябва да е по-малка от дължината на песента.

Задача 6: Дайте примери за други комулативни песни или стихотворения.

Това беше тайната скрита зад врата 84.

Кратко видео за тайната скрита зад вратa 84 можете да видите на нашия видеоканал тук.

“Светът на Байта – естествените числа” можете да поръчате тук.

Вижте и останалите загадки скрити зад вратите от Светът на Байта и успех в играта!

Полезни връзки:

„The Twelve Days of Christmas“

“The Complexity of Songs”

Светът на Байта – карта 84 – Тетраедричните числа (видео)

Светът на Байта – естествените числа

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios