Добре дошли в Светът на Байта.

В този пост ще видим каква тайна е скрита зад врата с номер 52.
Врата номер 52 се отключва с 2,2 и 13 и нейното отключване в играта „Бялата шапка и древният ключ“ носи 5 точки.
Тайната зад тази врата е свързана с числата на Бел. Te са кръстени на Ерик Темпъл Бел – шотландски математик и писател на научна фантастика.

Числа на Бел

Числата на Бел показват броя на разделяне на едно множество на непразни подмножества.
Например множество от 1 елемент може да се раздели на непразни подмножества само по 1 начин – като вземем самото множество. Така числото на Бел за n=1 е B{1}=1. Обичайно поредният номер на числото на Бел се загражда в къдрави скоби.
Ако имаме множество от 2 елемента, то имаме две възможности – да вземем всеки елемент по отделно, или двата заедно. Следователно числото на Бел за n=2 e B{2}=2
Ако имаме множество от 3 елемента, то вече имаме цели 5 възможности.
А всички възможности за множество с 4 елемента виждаме на изображението на врата с номер 52.

Общата формула за числата на Бел е:

B{0} = 1
B{1} = 1
B{n} = Σ(C(n, k) * B{k}) за k = 0 до n-1, където C(n, k) е биномният коефициент (т.е. броят на комбинациите на n елемента, взети по k).
Така че, при изчисление на B{n} използваме стойностите B{k} за по-малки k от n и това създава рекурсивна зависимост между числата на Бел.
Обикновено доказваме рекурсивни зависимости с метода на математическата индукция.

Задача 1: Нека N е естествено число, такова че неговото разлагане на прости множители не съдържа повторения. Т.е. N=p1p2p3…pn където p1 ; p2 ; p3 ; …pn са различни прости числа. Колко на брой са възможните разлагания на N?

Решение: p1 ; p2 ; p3 ; …pn са различни прости числа, а всеки делител ще бъде произведение на няколко от тях, то следователно въпросът за броят делители на N може да се трансформира във въпроса „По колко различни начини можем да разделим множеството { p1 ; p2 ; p3 ; …pn } на подмножества. Произведението на елементите на всяко подмножество ще бъде един делител на N. Отговорът на този въпрос е, че за n прости числа, броят на различните непразни подмножества на множеството от тези числа е n-тото число на Бел B{n}.

Например за числото 42, което се разлага на прости множители като 2*3*7, броят на различните делители е B{3}=5. И наистина това са 2*3*7; 6*7; 2*21,3*14, 1*42. Последното е всъщност самото число, но за да го представим нато произведение го записваме 1*42.

Триъгълник на Бел
Един лесен начин за пресмятане на числата на Бел е с използването на триъгълника на Бел. При този алгоритъм започваме с 1 на първия ред и пренасяме това число за начало на следващия ред. Следващия елемент се получава като сума на предходния на реда и този над него. Така на втория ред получаваме 2. Пренасяме го на третия ред и прилагаме същото правило. Последния елемент на третия ре се получава 5. Пренасяме го на 4 ред и отново прилагаме правилото.

Последният елемент на четвъртия ред се получава 15, пренасяме го на 6 ред и след прилагане на правилото получаваме последен елемент 52, което е и шестото число на Бел. За това врата с номер 52 е посветена на числата на Бел. Следващото число на Бел е 203.

Задача 2: Реализирайте този алгоритъм на избран от вас език за програмиране.

Решение: Едно решение с използване на електронни таблици можете да видите в работния файл за този пост. Можете да го свалите от линка в края на поста.

Задача 3: Докажете, че ако към сумата на числата от n-тия ред на триъгълника на Бел, добавим последното число от този ред, ще получим (n+1)-вото число на Бел.

Това беше тайната скрита зад врата 52

Линк за изтегляне на работната електронна таблица тук.

Кратко видео за числата на Бел има на нашия канал в youtube тук: https://youtu.be/am1edTafI0Q

В „Светът на Байта – естествените числа“ има 2 игри и 36 карти със загадки.

Всички загадки можете да видите на нашия видеоканал в Youtube тук:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLwOW0D25MsWbd1JP9E2yp6qtj21_VIk4G
Абонирайте се видеоканала за да не пропуснете следващите.

Всички тайни виж тук

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios