Къде можем да срещнем думата “инволюция” (освен в Китай)
Оригиналната статия е за Medium и може да бъде прочетена тук:
Има думи, които математиката и разговорната реч споделят. Думи като по-голямо, по-малко, равно. За тези думи имаме означение с математически знак, но се срещат много често и в разговорната реч. Има и думи, които се изполват в математиката за описание на ситуации, които се срещат често в различни области на математиката, но много рядко или дори никога няма да срещнете в разговорната реч. Такава дума е „инволюция“.
Представете си какво беше учидването ми, когато наскоро прочетох в една статия, че хаштаговете свързани с думата „инволюция“ имат 1 милиард гледания в някаква платформа Weibo в Китай. Тази дума била включена и в списъка с 10-те най-търсени ключови думи в Китай за 2020 година. Казах си: „Божичко, на практика почти всеки китаец е проучвал инволюцията. Там хората са явно много запалени по математиката. Щом там се дискутират подобни теми, трябва да си направя профил в тази мрежа, за да научавам интересни неща“. Оказа се че не е точно така.
Всъщност според статия в BBC (The buzzwords reflecting the frustration of China’s young generation) хората в Китай свързвали тази дума с разочарованието на младото поколение от генерация Z от огромната конкуренция съпътстваща живота им от самото влизане в училище, та чак до получаването на мечтаната работа и в последствие покриване на очакванията за работа от 9 до 6, 6 дни в седмицата.
Това ме наведе на мисълта, че повече хора трябва да знаят математическото значение на думата „инволюция“ и много красивите математически задачи в които тя се появява. Така няма да се стресират, когато я чуят. Аз специално открих този термин с една задача за телефонните числа. Но човек се сблъсква с инволюцията в математиката на много ранен етап в училище. Просто никой не казва на учениците, че това което виждат се нарича инволюция.
Инволюция е термин от математиката, който обозначава трансформация, която приложена два пъти се самонеутрализира. Примери за такъв вид трансформации има в различни области на математиката.
В геометрията имаме трансформации, които са инволюции. Например осевата симетрия. Ако при осевата симетрия с ос някаква права построим образа на една точка и после построим образа на образа при същата симетрия, то резултатът ще бъде първоначалната точка.
В алгебрата имаме операции, които са инволюции. Например умножението по (-1). Ако умножим едно число по (-1) и после умножим резултата по (-1), то ще получим първоначалното число. Още един пример с операция, която е инволюция – намиране на реципрочно. Ако за някакво число x намерим неговото реципрочно число 1/x и после намерим реципрочното число на реципрочното число, то резултатът ще е първоначалното число x.
Когато говорим за дискретни структури и множества също имаме примери за инволюции.
В областта на математическата логика има примери на инволюции. Например в булевата алгебра отрицанието на някакво твърдение. Отрицанието на отрицанието ни довежда до първоначалното твърдение.
Инволюцията е основно проучван феномен, когато става дума за крайни множества. В теория на групите например инволюцията се разглежда много често в контекста на пермутациите.
Моят личен фаворит за въвеждане на понятието инволюция са телефонните числа. Изучаването на телефонните числа започва в 1800 година от германският математик Хенрих Роте, но интерпретацията, която им носи името телефонни числа е дадена по-късно от американският математик Джон Риърдън.
Представете си, че n души са абонирани за телефонна услуга, която може да свърже всеки двама от тях чрез повикване, но не може да осъществи повикване, свързващо повече от двама души. По колко различни начини може да стане това?
Спрете да четете тук, ако искате сами да отговорите на този въпрос и се върнете когато сте готови за да сверим решенията си.
За да отговорим на този въпрос ще използваме метод, наречен математическа индукция. Отново да споменем, че термина индукция в математиката има различно значение от често употребявания израз „индукционен котлон“
При този метод трябва да имаме някаква начална стойност за която да знаем търсената стойност. Ако имаме само един човек то очевидно няма никакъв начин той да се свърже с някой друг, освен да си остане несвързан с никого – т.е. Т(1)=1
Ако имаме само двама души то те или могат да се свържат по между си, или не. Което означава, че телефонното число за n=2 е 2. Т(2)=2.
Ако имаме трима човека, то всеки може да реши да разговаря с всеки или никой да не говори с никого. Това ни дава за n=3 общо 4 възможности които можете да видите на изображението.
Да разгледаме случая с n абоната. Общият брой конфигурации ще е T(n). И нека да добавим нов абонат. Абонантите ще станат n+1. Очевидно този абонат може да не се свърже с никого и това ще ни даде T(n) конфигурации – това са си конфигурациите на началните n абоната. Има и друга възможност. Например да реши да се свържи с абонат с номер 1. Тогава останалите абонати, които са n-1 на брой могат да се свържат по между си по T(n-1) начина. Това може да се повтори с всичките първоначални n абоната. Това ни добавя нови nT(n-1) възможности. Така формулата за n+1 абоната става:
T(n+1)=T(n)+nT(n-1)
За n=4 по формулата получаваме T(4)=T(3)+4*T(2) или T(4)=4+3*2=10. На изображението можете да ги видите и как изглеждат тези 10 варианта.
Ако се замислите, ще видите, че това „телефонно“ свързване показва точно броят на различните инволюции, които могат да се дефинират върху крайно множество с n елемента. За това и другото име на телефонните числа е „инволюционни числа“.
Ето първите няколко от тях:
1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, …
Надявам се и за вас думата инволюция да има красивото значение на нещо, което след повторна трансформация да се превръща отново в себе си.
Последвайте ни
Електронна Поща
marielastan4eva@gmail.com
Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios
Recent Comments