Има математически задачи, които ти отварят на учениците вратите към изцяло нови области на математиката.

В България диофантовите уравнения не са част от официалната учебна програма. С тях може да се срещнеш единствено в специализираните математически гимназии, където има извънредни часове по време на които учениците се готвят за състезания. Разбира се може да попаднеш на такава задача и случайно, но вероятността не е голяма. Защото извън някои наистина малки общости, хората рядко говорят за интересни задачи.

Такава област на математиката са диофантовите уравнения. Диофантовите уравнения са уравнения като всички други – с неизвестни, коефициенти и решения. Имат специално име, защото искаме да намерим само техните решения, които са цели числа. Наречени са така в чест на древногръцкия математик Диофант, който пръв въвежда специфични означения за неизвестното в някакво уравнение.

Обикновено диофантовите уравнения са с повече от едно неизвестно. Така от цял клас решения трябва да се изберат само онези, които са цели числа. Това разбира се не винаги е възможно. А когато е възможно, обикновено търсим това решение с методи базирани на делимости, методи за изчерпване на възможностите и други такива.

Вероятно най-известното диофантово уравнение е Великата теорема на Ферма, която гласи, че уравнението

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ

няма нетривиални решения в цели числа за n>2. Тривиално е решение в което една от променливите е 0. А за n=2 има решения ( например x=3, y=4, z=5) и те се наричат Питагорови тройки, тъй като такива решения удовлетворяват теоремата на Питагор.

Тази теорема носи името на френския математик Пиер дьо Ферма, който през 1637 г. я формулира в полето на книгата „Аритметика“ от Диофант. Формулировката е оставена без доказателство. И от тогава много математици са се опитавали да я докажат или опровергаят. Включително чрез големи изчислителни мощности, ангажирани да намерят решение и по този начин да я опровергаят.

Доказателството на тази теорема отне на човечеството около 360 години. През 1996 година доказателството представено на 150 страници от Сър Андрю Джон Уайлс е прието от математиците и тази теорема вече се счита за доказана.

Аз обаче се влюбих в диофантовите уравнения от една задача за 5 клас. Самата аз я реших, когато бях в 7 клас. И тази задача е неизменно сред първите няколко задачи, които споменавам, когато някой ме попита коя е любимата ми задача. Задачата има различни разновидности, но аз се срещнах с нея във варианта, наричан задачата за синеокото момиче. Ето и самата задача:

Една майка имала 3 дъщери. Произведението от годините им е 36. Сбора от годините им е равен на номера на къщата в която живеят. Съседите не могат да кажат коя дъщеря на колко години е. Вие трябва да кажете това, ако знаете, че най-голямата има сини очи.

Когато човек чуе за пръв път тази задача, първата му реакция е да се засмее и да си помисли, че го будалкат. Но ви уверявам, че задачата е брилянтна и решението ѝ е едно от най-елегнтните решение с които ученик в 5 клас може да се сблъска.

И така да се захващаме с решението.

Спрете да четете тук, ако искате да опитате сами и се върнете да си сверим решенията, когато сте готови.

Започваме с първото изречение, което ни казва, че става дума за годините на 3 дъщери и си струва да ги означим с x, y, z.

Второто изречение ни казва, че произведението на годините е 36 и можем да кажем, че x*y*z=36. 36 може да се представи като произведение на естествени числа по различни начини. Например може да е 2*3*6, но може и 2*2*9 и по още различни начини. Така че това не е достатъчно за да определим възрастта на момичетата.

Третото изречение ни казва, че сбора от годините е равен на номера на къщата в която живеят. Ние не знаем номера на тази къща и до края на задачата не го научаваме. Така че тук трябва да спрем и да си зададем вероятно най-важния въпрос. И той е свързан с четвъртото изречение: Защо съседите, които знаят номера на къщата не могат да кажат нищо по въпроса с годините на трите момичета? Ако проверим двата примера, които зададохме по-горе ще видим, че ако съберем множителите на първото разлагане 2*3*6, то тяхната сума е 2+3+6=11, а за второто разлагане 2*2*9 сумата на множителите е 2+2+9=13. Ако номера на къщата е 11, съседите трябва да могат да определят, че това са годините. Ако номера на къщата е 13, то съседите пак би трябвало да могат да определят възрастта на момичетата. Стоп. Дали това е вярно? А може би съседите не могат да определят възрастта на момичетата защото не са сигурни кое от няколко възможни решения да изберат?

Да погледнем всички разлагания nа 36 на множители. Записала съм ги в таблицата, заедно със сумите на тези множители:

Както забелязваме има един единствен случай в който този който знае номера на къщата не може да каже кое момиче на колко години е. И това е случая в който номера на къщата е 13. Защото тогава има две възможности: 2,2 и 9 или 1,6 и 6.

Независимо, че ние не знаем номера на къщата, разполагаме с информация с която съседите не разполагат. И тя е в петото изречение. Знаем, че най-голямото момиче има сини очи. Ключовата част от тази информация е, че има най-голямо момиче. Т.е. варианта 1,6,6 отпада, тъй като в него няма най-голямо момиче. Значи остава варианта 2,2 и 9. Като момичето на 9 години има сини очи, а номера на къщата в която живеят (и който съседите знаят) е 13.

Дано съм успяла да ви предам насладата от решението на тази задача, такава каквато я почувствах аз, когато за пръв път се сблъсках с тази задача. Тя запали интереса ми към диофантовите уравнения и това и до днес е един от любимите ми раздели от математиката въпреки, че практикувам в съвсем различна област.

Този пост е писан за Medium и можете да го прочетете на английски тук: https://medium.com/@marielastan4eva/the-math-problem-of-the-blue-eyed-girl-8a6f91efc957

Причината да обичаш или мразиш математиката

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios