Предизвикателство 2020 или защо математиката е нужна всеки ден (5/52)

52 задачи с които да променим учебниците

Задача 5

Когато говорим за показателната функция ( f(x)=ax ) в училище рядко споменаваме защо изучаването ѝ е толкова важно за ежедневието на всеки. Обикновените примери със сложна лихва са толкова маловажни, че чак скучни. Всъщност показателната функция ни разказва една забележителна история за растеж или колапс. Разказва ни, че растежът и колапсът са двете страни на една монета. Всичко зависи от едно единствено число – разположението на основата спрямо единицата.

Например днес обявиха грипна ваканция. Защо тази мярка е необходима?

Всеки организъм се размножава. Иначе изчезва. Това е неотменим закон на природата. Темпът с който се размножава определя неговата съдба. Това пък е неотменим закон на показателната функция. Да вземем за пример една бактерия. Разбира се, бактериите са прекалено малки и съответно за да имаме смислени данни ще вземем една популация от някакво голямо количество бактерии – N. След 3 часа отново измерваме количеството бактерии и установяваме, че то се е удвоило – 2N. Тогава, докато има ресурси (например храна), на всеки 3 часа броят на бактериите ще се удвоява. Или с други думи, ако започнем с една бактерия, след 3 часа (един период) ще имаме 2 бактерии, след 6 часа (два периода) ще имаме 22 бактерии и така след x периода ще имаме 2x бактерии. Т.е. развитието на бактериите следва показателната функция, докато има ресурси. Всички бактерии имат подобен растеж.

Подобно е и положението с вирусите. Ако един вирус попадне в подходяща за разпространение среда, той ще се разпространи с растеж, описван от показателна функция с някаква основа по-голяма от 1. За това дори само малка част от копия на вируса да попадне в организъм, който не е защитен (от ваксина или естествен имунитет), той бързо ще се разпространи. Такова е поведението на показателната функция.

Ето конкретна задача създадена от Павлин Цонев:

Знае се, че болестотворна бактерия тип А се раздвоява на всеки 20 минути.
Задача 1: Колко време е необходимо за да се получат поне 1024 бактерии от една клетка тип А?

Задача 2: Известно е, че първите симптоми на болестта, причинена от бактерията тип А, се получават на третия час, след като една клетка попадне при благоприятни условия в човешкото тяло. За лечението на тази болест е открита бактерия тип В, като всяка клетка тип В унищожава точно една тип А.
Митко бил на преглед при д-р Цонев в 15:00 часа и казал на лекаря, че се почувствал зле около 12:00 часа. Д-р Цонев преценил, че трябва да му направи инжекция с лекарство, което съдържа бактерия тип В. Той разполага с разфасовки на това лекарство, в които на 1 ml има 200 000 полезни бактерии. Колко ml (от изброените) най-малко да използва доктора, за да помогне на Митко?

А какво правим за да спрем заразата?

Две неща. Едното е, че търсим начин да спрем разпространението на вируса вътре в организма. За това отговаря биологията. Биолозите (по-точно епидемиолозите и вирусолозите) търсят ваксини или стимулиращи имунната система храни, напитки и лекарства, които да спрат самото заразяване, обучавайки имунната ни система да разпознава вируса и да го унищожава. С това всъщност имунната ни система намалява основата на показателната функция описваща разпространението на вируса. Ако успее да свали основата под 1, то разпространението на вируса бързо намалява. Така казва показателната функция, която разбира се е бързо намаляваща при стойности на основата по-малки от 1.

Второто нещо, което правим е да извикаме на помощ теорията на графите. Подробно разказах за нея в „Наръчник на бунтаря за проваляне на часа по математика“. Този дял от математиката изучава връзките между обекти. За да се предаде вируса от един човек на друг, то трябва да има подходящ контакт между тези хора. Не всеки контакт е подходящ за предаване на вируса. Графите са математически обекти състоящи се от върхове (например хора) и ребра (например контакти между хората). Например Facebook е граф. Профилите са върхове, а приятелствата между профилите са ребра. Граф (доста голям и сложен) е и цялото човечество. Неговото изучаване е изумително предизвикателство. На изображението виждате граф с 6 върха и 7 ребра. Едно от числата свързани с даден граф е т.н. степен на връх, която е броят ребра, произлизащи от даден връх. Например върхът обозначен с 5 има степен на свързаност 3, защото от него излизат (и влизат) 3 ребра. Ако например връх 5 е вирусоносител, той би могъл да предаде заразата на връх 4, връх 3 и връх 1. Ако те се заразят, после 4 ще зарази 3 и 6 и цялата популация ще е заразена. Но ако прекъснем връзките на връх 5 (като го пуснем в „грипна ваканция“ и така той не контактува с 4, 2 и 1) то дори да се зарази, той няма да е в състояние да предаде заразата и популацията ще остане относително незасегната. Това е прост граф. Действителният граф  на човечеството е много по-голям и за това за неговото изучаване се използват компютри. Още сме в началото на това изучаване, но математиката ще е науката, която ще ни води напред, така че да сме по-добре подготвени за всяка следваща опасност от непознати вируси.

Ще завърша с цитат от “Наръчник на бунтаря за проваляне на часа по математика”: ” Сред най-големите страхове на съвременната цивилизация е потенциалната възможност от поява на смъртоносен вирус или бактерия. Поради лесното придвижване на хора днес един вирусоносител може да пренесе заразата на хиляди километри, без да знае, че е вирусоносител. Това ще даде възможност да се заразят много хора. Предотвратяването на подобна биологична катастрофа е свързано с две неща – как да измислим бързо ваксина срещу неизвестен вирус и как ефективно да спрем разпространението на заразата. За първото се грижи биологията. Но да предположим, че сме измислили бързо ваксина. Кого ще ваксинирате първо? Изучаването на връзките между хората дава възможност да ваксинираме най-напред тези хора, които потенциално биха предали вируса на най-много други хора, като същевременно са с най-голям риск от заразяване. Звучи ли ви познато? Кой е най-свързан и същевременно стои на най-късия път между всички хора? Структурата на връзки между обекти се изучава от теорията на графите. Ако знаем поне приблизително структурата на графа на човечеството (който пък от своя страна се променя непрекъснато), то ние ще можем ефективно да противодействаме на тази заплаха. Теорията на графите буквално ще спаси човечеството от гибел. Затова изучаването на графа на човечеството в неговата цялост е невероятна задача. Информационните гиганти като Google и Facebook вече правят някои първи стъпки. Но истинското решение на тази задача тепърва предстои.”

Та ето за това математиката е необходима всеки ден.

Не пропускай да се включиш в предизвикателството. Изпрати своята любима задача тук или на страницата във Facebook.

Последвайте ни

FACEBOOK

Електронна Поща

  marielastan4eva@gmail.com

Copyright © 2018 Мариела Станчева|Website Design by Blue Gem Studios